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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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2. Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
a) $f(x)=\frac{x-4}{6+2 x}$

Respuesta

Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te comento ahí😊 

Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$


Primero calculamos el dominio de la función:
$f(x)=\frac{x-4}{6+2x}$
Para encontrar el dominio, tenemos que asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$6+2x\ne0 \rightarrow 2x\ne-6 \rightarrow x\ne-3$
Por lo tanto, el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{-3\}$, o lo que es lo mismo $(- \infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.
  




💡 Mi recomendación es que de este ejercicio te lleves el cálculo del dominio. No te vuelvas loco/a con lo de la imagen.


Lo que podemos hacer para saber si -3 si pertenece a la imagen de la función, es buscar si hay algún valor de $x$ que haga que $f(x)=-3$. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una $x$ que pertenezca al dominio de la función:


Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:


$\frac{x-4}{6+2x} = -3$


$x-4 = -3(6+2x)$

$x-4 = -18 - 6x$ 


$x+6x = -18 +4$  


$7x = -14$ 


$x=\frac{-14}{7}$ 


$x = -2$ 



Ahora nos fijamos si $x = -2$ está en el dominio de la función. Si pertenece al dominio, significa que $-3$ pertenece a la imagen de la función, pero si no pertenece al dominio, significa que $-3$ no pertenece a la imagen. ¿Y por qué $-3$ no pertenecería a la imagen si el valor de $x$ obtenido no pertenece al dominio? Porque la función no existiría, entonces ¿cómo podría tener una imagen si directamente no existe para ese valor del dominio?
El valor de $x=-2$ obtenido pertenece al dominio de la función (es decir, está dentro del intervalo \((- \infty, -3) \cup (-3, +\infty)\). Es decir, que $-3$ forma parte de la imagen de la función.


Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función. $-3 \in \operatorname{Im} f$
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Avatar Valeria 24 de abril 20:57
Hola Juli, me está costando mucho graficar esta función porque me da todos valores tipo 0,012... Para la tabla usé valores que me sugirió Exaboti, pero la verdad que no se que forma tiene la grafica 
Avatar Julieta Profesor 25 de abril 11:44
@Valeria Hola Vale, tranqui que es nada más estimativo.. Este ejercicio es una cagad* jajaja perdón que lo diga así tan honestamente. No sé por qué lo pusieron tan al principio del curso cuando todavía no saben hacer esas cosas. Te recomiendo que lo saltees y te enfoques solo en calcular el dominio, que es lo realmente importante.
Avatar Valeria 25 de abril 18:26
@Julieta jajajaja muchas gracias! voy a seguir tu consejo!!
Avatar Andrea 22 de octubre 12:11
Hola profe, me podrías explicar cómo hago la tabla de valores en este caso? Tendría que hacer para el numerador y para el denominador también?
Avatar Julieta Profesor 23 de octubre 13:44
@Andrea Hola Andre, nono todo una solita. Pones distintos valores de x, y calculas los valores de y, que sería básicamente reemplazar en toooda la función los valores de x que vayas eligiendo.
Por ejemplo: 

$x = 1$, $y = f(1) = \frac{1-4}{6+2.1} = \frac{-3}{8}$, entonces el punto es $(1, \frac{-3}{8})$ y ahí la vas armando con otros valores de x.

Avatar Bel 15 de abril 14:33
@Julieta Juli, una vez que probás distintos valores de x, como identificás si -3 pertenece a la imagen? No entiendo eso aún
Avatar Irina 6 de septiembre 23:36
Hola profe! Quería preguntar si cuando se refiere a la Imagen de una función se hace referencia a los valores que toma del eje y
Avatar Julieta Profesor 9 de septiembre 12:21
@Irina Hola Iri! Sí!
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