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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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2. Hallar en los siguientes casos el dominio de ff y decidir si −3∈Im⁡f-3 \in \operatorname{Im} f.
a) f(x)=x−46+2xf(x)=\frac{x-4}{6+2 x}

Respuesta

Para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te comento ahí😊 

Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de ff y decidir si −3∈Im⁡f-3 \in \operatorname{Im} f


Primero calculamos el dominio de la función:
f(x)=x−46+2xf(x)=\frac{x-4}{6+2x}
Para encontrar el dominio, tenemos que asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
6+2x≠0→2x≠−6→x≠−36+2x\ne0 \rightarrow 2x\ne-6 \rightarrow x\ne-3
Por lo tanto, el dominio de ff es R−{−3}\mathbb{R} -\{-3\}, o lo que es lo mismo (−∞,−3)∪(−3,+∞)(- \infty, -3) \cup (-3, +\infty).
Para saber si -3 pertenece a la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla. 


💡 Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para y=−3y=-3.


Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería evaluar si existe algun valor de xx que haga que f(x)=−3f(x)=-3. Para hacer esto tenemos que reemplazar el -3 como resultado de la función y ver si corresponde a una xx que pertenezaca al dominio de la función:


Es decir, planteamos que f(x)=−3f(x)= -3 y despejamos xx:


x−46+2x=−3\frac{x-4}{6+2x} = -3


x−4=−3(6+2x)x-4 = -3(6+2x)

x−4=−18−6xx-4 = -18 - 6x 


x+6x=−18+4x+6x = -18 +4  


7x=−147x = -14 


x=−147x=\frac{-14}{7} 


x=−2x = -2 
El valor de x=−2x=-2 obtenido pertenece al dominio de la función (es decir, está dentro del intervalo (−∞,−3)∪(−3,+∞)(- \infty, -3) \cup (-3, +\infty). 


Conclusión: −3-3 pertenece a la imagen de la función. −3∈ Im⁡f-3 \in \operatorname{Im} f
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Andrea
22 de octubre 12:11
Hola profe, me podrías explicar cómo hago la tabla de valores en este caso? Tendría que hacer para el numerador y para el denominador también?
0 Responder
Julieta
PROFE
23 de octubre 13:44
@Andrea Hola Andre, nono todo una solita. Pones distintos valores de x, y calculas los valores de y, que sería básicamente reemplazar en toooda la función los valores de x que vayas eligiendo.
Por ejemplo: 

x=1x = 1, y=f(1)=1−46+2.1=−38y = f(1) = \frac{1-4}{6+2.1} = \frac{-3}{8}, entonces el punto es (1, −38)(1, \frac{-3}{8}) y ahí la vas armando con otros valores de x.
1 Responder
Irina
6 de septiembre 23:36
Hola profe! Quería preguntar si cuando se refiere a la Imagen de una función se hace referencia a los valores que toma del eje y
0 Responder
Julieta
PROFE
9 de septiembre 12:21
@Irina Hola Iri! Sí!
0 Responder